三角学示例

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = - 1$

解题步骤 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \arctan (- 1)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{- π - π}{4}$

解题步骤 3.3

从 $- π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{- 2 π}{4}$

解题步骤 3.4

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{4}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 (2)}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{2}$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 4

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = - π$

解题步骤 5

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 6.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - π}{4}$

解题步骤 6.3.1.3

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

解题步骤 6.3.1.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 6.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.3.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 7

求 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 7.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.1

将 $2 π$ 加到 $- π$ 以求正角。

$- π + 2 π$

解题步骤 8.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$π$

解题步骤 8.3

列出新角。

$x = π$

解题步骤 9

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并答案。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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