三角学示例

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{\cos (x)}$ 和 $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$(\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 6

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

合并 $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 7.1.1

按照 $\sec (x) (- \tan (x))$ 和 $\tan (x) \sec (x)$ 重新排列因数。

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.1.2

将 $- \sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 相加。

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.1.3

将 $\sec (x) \sec (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.2.1.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

解题步骤 7.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 7.2.3

乘以 $- \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

解题步骤 7.2.3.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

解题步骤 7.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 7.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

解题步骤 8

使用勾股恒等式。

$1$

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