三角学示例

${(\cos (x) + \cos (y))}^{2} + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 ${(\cos (x) + \cos (y))}^{2}$ 重写为 $(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ 。

$(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) + \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2

乘以 $\cos (y) \cos (y)$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{1} (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2.2

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + {\cos (y)}^{1 + 1} + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.2

重新排序 $\cos (y) \cos (x)$ 的因式。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.3.3

将 $\cos (x) \cos (y)$ 和 $\cos (x) \cos (y)$ 相加。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

解题步骤 1.4

将 ${(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$ 。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$

解题步骤 1.5

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$ 。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) - \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) - \sin (y))$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) - \sin (y))$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.6.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6.1.3

乘以 $- \sin (y) (- \sin (y))$ 。

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解题步骤 1.6.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + 1 \sin (y) \sin (y)$

解题步骤 1.6.1.3.2

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin (y) \sin (y)$

解题步骤 1.6.1.3.3

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{1} (y) \sin (y)$

解题步骤 1.6.1.3.4

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y)$

解题步骤 1.6.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + {\sin (y)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.6.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{2} (y)$

解题步骤 1.6.2

重新排序 $- \sin (y) \sin (x)$ 的因式。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

解题步骤 1.6.3

从 $- \sin (x) \sin (y)$ 中减去 $\sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

解题步骤 2

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

解题步骤 3

重新整理项。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

解题步骤 4

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

解题步骤 5

移动 $\sin^{2} (y)$ 。

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 6

重新整理项。

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 7

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + 1 - 2 \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos (x) \cos (y) + 2 - 2 \sin (x) \sin (y)$

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