三角学示例

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin^{2} (4 x) = 1$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (4 x) = \pm 1$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (4 x) = 1$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (4 x) = - 1$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (4 x) = 1, - 1$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

解题步骤 6

在 $\sin (4 x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$4 x = \arcsin (1)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$4 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.3

将 $4 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $4 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 6.3.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 6.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$4 x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

化简。

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解题步骤 6.5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.5.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.5.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.5.1.4

从 $π \cdot 2$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 6.5.1.4.1

将 $π$ 和 $2$ 重新排序。

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 6.5.1.4.2

从 $2 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$4 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.5.2

将 $4 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $4 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 6.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 6.5.2.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 6.5.2.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.5.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 6.6

求 $\sin (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.6.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 6.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 6.6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 6.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 6.7

$\sin (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\sin (4 x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$4 x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$4 x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3

将 $4 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $4 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 7.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 7.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 7.3.3.2

乘以 $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.3.3.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{π}{8}$

解题步骤 7.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 7.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 7.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$4 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.5.3

将 $4 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.5.3.1

将 $4 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 7.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 7.5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 7.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 7.5.3.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.5.3.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.5.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 π}{8}$

解题步骤 7.6

求 $\sin (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 7.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.6.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 7.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 7.6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 7.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 7.7

将 $\frac{π}{2}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.7.1

将 $\frac{π}{2}$ 加到 $- \frac{π}{8}$ 以求正角。

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

解题步骤 7.7.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

解题步骤 7.7.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

解题步骤 7.7.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

解题步骤 7.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

解题步骤 7.7.5

化简分子。

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解题步骤 7.7.5.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

解题步骤 7.7.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{8}$

解题步骤 7.7.6

列出新角。

$x = \frac{3 π}{8}$

解题步骤 7.8

$\sin (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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