三角学示例

$\cos (105) \sin (75)$

解题步骤 1

$\cos (105)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (75) \sin (75)$

解题步骤 1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \cos (30 + 45) \sin (75)$

解题步骤 1.3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.6

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (75)$

解题步骤 1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8

化简 $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (75)$

解题步骤 1.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (75)$

解题步骤 2

$\sin (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30 + 45)$

解题步骤 2.2

使用两角和公式。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

解题步骤 2.3

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

解题步骤 2.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

解题步骤 2.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

解题步骤 2.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

解题步骤 2.7.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 3

乘以 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.4

从根式下提出各项。

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.5

乘以 $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.6.5

计算指数。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.8

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.9

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.10

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.11

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 4.2.1.12

乘以 $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

解题步骤 4.2.1.12.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

解题步骤 4.2.1.13

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.1.13.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

解题步骤 4.2.1.13.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

解题步骤 4.2.1.14

从根式下提出各项。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

解题步骤 4.2.1.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 4.2.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$- \frac{0 - 2 + 6}{16}$

解题步骤 4.2.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{- 2 + 6}{16}$

解题步骤 4.2.4

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$- \frac{4}{16}$

解题步骤 5

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (1)}{16}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{4}$

小数形式：

$- 0.25$

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