三角学示例

$\cos (67.5) \cos (22.5)$

解题步骤 1

$\cos (67.5)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $67.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

解题步骤 1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

解题步骤 1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

解题步骤 1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

解题步骤 2

$\cos (22.5)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $22.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

解题步骤 2.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

解题步骤 2.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

解题步骤 2.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 2.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.5.6

化简分母。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.3

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.3.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$0.35355339 \dots$

三角学 示例

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