三角学示例

$\cot (\frac{5 π}{8})$

解题步骤 1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cot (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

解题步骤 2

使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})}$

解题步骤 3

使用正切半角公式。

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 4

Change the $\pm$ to $-$ because cotangent is negative in the second quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5

化简 $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$ 。

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解题步骤 5.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.2.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 5.3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 5.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 5.3.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 5.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 5.4.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 5.4.3

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

解题步骤 5.4.4

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

解题步骤 5.4.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.6

化简。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.7

运用分配律。

$- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.8.1

约去公因数。

$- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.8.2

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.9

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.10

求公分母。

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解题步骤 5.4.10.1

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.10.2

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.10.3

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.10.4

将 $\sqrt{2}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.10.5

将 $\frac{\sqrt{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.10.6

将 $\frac{\sqrt{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.11

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.12

化简每一项。

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解题步骤 5.4.12.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.3

运用分配律。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.4

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.5

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.6

化简每一项。

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解题步骤 5.4.12.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

解题步骤 5.4.12.6.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

解题步骤 5.4.13

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.14

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.15

约去 $6 + 4 \sqrt{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 5.4.15.2

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.15.3

从 $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 5.4.15.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.15.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

解题步骤 5.4.15.4.2

约去公因数。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

解题步骤 5.4.15.4.3

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

解题步骤 5.4.15.4.4

用 $3 + 2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

小数形式：

$- 0.41421356 \dots$

三角学 示例

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