三角学示例

$\sin (\frac{7 π}{24}) \cos (\frac{π}{24})$

解题步骤 1

$\cos (\frac{π}{24})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{π}{24}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \cos (\frac{\frac{π}{12}}{2})$

解题步骤 1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}})$

解题步骤 1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}}$

解题步骤 1.4

使用三角函数的两角和差公式来求解 $\cos (\frac{π}{12})$ 的精确值。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.4.2

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.4.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.4.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.4.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 1.4.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 1.4.7.2

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 1.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 1.5.2

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

解题步骤 1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.5.4

乘以 $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$

解题步骤 1.5.5

将 $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 1.5.6

化简分母。

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解题步骤 1.5.6.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.5.6.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 1.5.6.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.6.2

从根式下提出各项。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.5.7

将 $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) (\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.5.8

合并和化简分母。

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解题步骤 1.5.8.1

将 $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.5.8.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 1.5.8.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 1.5.8.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 1.5.8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.5.8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.5.8.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.5.8.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.5.8.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.8.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.8.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.8.7.4.1

约去公因数。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.8.7.4.2

重写表达式。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 1.5.8.7.5

计算指数。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.9

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 2

组合 $\sin (\frac{7 π}{24})$ 和 $\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ 。

$\frac{\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3

将 $2$ 移到 $4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{2 (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}}{4}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{2 (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}}{4}$

小数形式：

$0.78656609 \dots$

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