三角学示例

$\tan (37.5)$

解题步骤 1

将 $37.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\tan (\frac{75}{2})$

解题步骤 2

使用正切半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 3

将 $\pm$ 更改为 $+$ ，因为正切在第一象限是正的。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{1 + \cos (75)}}$ 。

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解题步骤 4.1

$\cos (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.3

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.5

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7

化简 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.1.7.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.4.2

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

解题步骤 4.5

$\cos (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (30 + 45)}}$

解题步骤 4.5.2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)}}$

解题步骤 4.5.3

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)}}$

解题步骤 4.5.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)}}$

解题步骤 4.5.5

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)}}$

解题步骤 4.5.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.5.7

化简 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.5.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.5.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

解题步骤 4.5.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}$

解题步骤 4.5.7.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}$

解题步骤 4.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}$

解题步骤 4.8

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.9.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.10

将 $\frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (\frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}})}$

解题步骤 4.11

将 $\frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}}$

解题步骤 4.12

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{6} \cdot 4 + {\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - 4 \sqrt{2} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 4.13

化简。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}}}$

解题步骤 4.14

将 $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{20 - 8 \sqrt{6}}{20 - 8 \sqrt{6}}$ 。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}} \cdot \frac{20 - 8 \sqrt{6}}{20 - 8 \sqrt{6}})}$

解题步骤 4.15

将 $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{20 - 8 \sqrt{6}}{20 - 8 \sqrt{6}}$ 。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})}{(20 + 8 \sqrt{6}) (20 - 8 \sqrt{6})}}$

解题步骤 4.16

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})}{400 - 160 \sqrt{6} + 160 \sqrt{6} - 64 {\sqrt{6}}^{2}}}$

解题步骤 4.17

化简。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})}{16}}$

解题步骤 4.18

约去 $20 - 8 \sqrt{6}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.18.1

从 $(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{16}}$

解题步骤 4.18.2

约去公因数。

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解题步骤 4.18.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4 (4)}}$

解题步骤 4.18.2.2

约去公因数。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 4.18.2.3

重写表达式。

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.19

运用分配律。

$\sqrt{4 \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} - \sqrt{6} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.20

化简。

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解题步骤 4.20.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.20.1.1

约去公因数。

$\sqrt{4 \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} - \sqrt{6} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.20.1.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.20.2

组合 $\frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}$ 和 $\sqrt{6}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) - \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.20.3

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) - \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.21

在公分母上合并分子。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22

化简每一项。

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解题步骤 4.22.1

运用分配律。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 1 \cdot 4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 4 \cdot 5 - 4 (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 5 - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4

化简每一项。

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解题步骤 4.22.4.1

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 - 4 (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 5 - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 5 - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.4

乘以 $- \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.22.4.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.4.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.4.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 {\sqrt{6}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 {\sqrt{6}}^{2} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.5

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.22.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.22.4.5.4.1

约去公因数。

解题步骤 4.22.4.5.4.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6^{1} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.5.5

计算指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6 - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.8

乘以 $- \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.22.4.8.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6 \cdot 2}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.8.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{12}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.9

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.22.4.9.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{4 (3)}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.10

从根式下提出各项。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 (2 \sqrt{3})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.4.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.5

将 $- 20$ 和 $12$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 8 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.6

从 $8 \sqrt{6}$ 中减去 $5 \sqrt{6}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 8 + 3 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.7

运用分配律。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8

化简。

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解题步骤 4.22.8.1

乘以 $3 \sqrt{6} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 4.22.8.1.1

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.1.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{1 + 1} - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.2

乘以 $- 5 \sqrt{2} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 4.22.8.2.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{6 \cdot 2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.3

乘以 $4 \sqrt{3} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 4.22.8.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.8.3.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9

化简每一项。

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解题步骤 4.22.9.1

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.22.9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.22.9.1.4.1

约去公因数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.1.4.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{1} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.1.5

计算指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6 - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.3

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.22.9.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 \sqrt{4 (3)} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.4

从根式下提出各项。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 (2 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.6

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.22.9.6.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.6.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.7

从根式下提出各项。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.9.8

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (4 \cdot 5 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11

化简每一项。

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解题步骤 4.22.11.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.3

将 $5$ 移到 $\sqrt{6}$ 的左侧。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.4

乘以 $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.22.11.4.1

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.4.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.5

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.22.11.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.22.11.5.4.1

约去公因数。

解题步骤 4.22.11.5.4.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.5.5

计算指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.6

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.7

将 $5$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.8

乘以 $\sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.22.11.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 \cdot 6})}{4}}$

解题步骤 4.22.11.8.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{12})}{4}}$

解题步骤 4.22.11.9

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.22.11.9.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{4 (3)})}{4}}$

解题步骤 4.22.11.9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3})}{4}}$

解题步骤 4.22.11.10

从根式下提出各项。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 (2 \sqrt{3}))}{4}}$

解题步骤 4.22.11.11

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.12

从 $20$ 中减去 $12$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (8 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.13

将 $- 8 \sqrt{6}$ 和 $5 \sqrt{6}$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.14

运用分配律。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 8 + \sqrt{2} (- 3 \sqrt{6}) + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15

化简。

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解题步骤 4.22.15.1

将 $8$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 3 \sqrt{6}) + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.2

乘以 $\sqrt{2} (- 3 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.22.15.2.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.3

乘以 $\sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.22.15.3.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

解题步骤 4.22.15.4

乘以 $\sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.22.15.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{2 \cdot 3}}{4}}$

解题步骤 4.22.15.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16

化简每一项。

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解题步骤 4.22.16.1

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.22.16.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 3 \sqrt{4 (3)} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.2

从根式下提出各项。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 3 (2 \sqrt{3}) + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.22.16.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.22.16.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{1} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.4.5

计算指数。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2 - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.22.16.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 10 - 4 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.23

从 $- 8 \sqrt{6}$ 中减去 $4 \sqrt{6}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 10 - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.24

将 $18$ 和 $10$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.25

从 $- 10 \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.26

将 $12 \sqrt{2}$ 和 $8 \sqrt{2}$ 相加。

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27

化简每一项。

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解题步骤 4.27.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})$ 。

$\sqrt{4 \cdot 5 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2

化简每一项。

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解题步骤 4.27.2.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{20 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.3

将 $5$ 移到 $\sqrt{6}$ 的左侧。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.4

乘以 $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.27.2.4.1

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.4.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.5

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.27.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.27.2.5.4.1

约去公因数。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.5.4.2

重写表达式。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.5.5

计算指数。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.6

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.7

将 $5$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.8

乘以 $\sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 4.27.2.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 \cdot 6} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.8.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{12} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.9

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.27.2.9.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{4 (3)} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.10

从根式下提出各项。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 (2 \sqrt{3}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.2.11

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.3

从 $20$ 中减去 $12$ 。

$\sqrt{8 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.4

将 $- 8 \sqrt{6}$ 和 $5 \sqrt{6}$ 相加。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.5

约去 $28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.27.5.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 \cdot 7 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.5.2

从 $- 16 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 \cdot 7 + 4 (- 4 \sqrt{3}) + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.5.3

从 $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3}) + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.5.4

从 $20 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3}) + 4 (5 \sqrt{2}) - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.5.5

从 $4 (7 - 4 \sqrt{3}) + 4 (5 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}) - 12 \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 4.27.5.6

从 $- 12 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}) + 4 (- 3 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.27.5.7

从 $4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}) + 4 (- 3 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6})}{4}}$

解题步骤 4.27.5.8

约去公因数。

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解题步骤 4.27.5.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6})}{4 (1)}}$

解题步骤 4.27.5.8.2

约去公因数。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6})}{4 \cdot 1}}$

解题步骤 4.27.5.8.3

重写表达式。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{1}}$

解题步骤 4.27.5.8.4

用 $7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}$

解题步骤 4.28

将 $8$ 和 $7$ 相加。

$\sqrt{15 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}$

解题步骤 4.29

从 $- 3 \sqrt{6}$ 中减去 $3 \sqrt{6}$ 。

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}}$

解题步骤 4.30

将 $5 \sqrt{2}$ 和 $5 \sqrt{2}$ 相加。

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.31

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中减去 $4 \sqrt{3}$ 。

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2} - 8 \sqrt{3}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2} - 8 \sqrt{3}}$

小数形式：

$0.76732698 \dots$

三角学 示例

三角学示例