三角学示例

$\tan (\frac{3 π}{4} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 1

要将 $\frac{3 π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\tan (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\tan (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\tan (\frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\tan (\frac{3 π \cdot 3}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\tan (\frac{3 π \cdot 3}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\tan (\frac{3 π \cdot 3}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12})$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\tan (\frac{3 π \cdot 3 + 2 π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\tan (\frac{9 π + 2 π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\tan (\frac{9 π + 8 π}{12})$

解题步骤 5.3

将 $9 π$ 和 $8 π$ 相加。

$\tan (\frac{17 π}{12})$

解题步骤 6

$\tan (\frac{17 π}{12})$ 的准确值为 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{17 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\tan (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

解题步骤 6.2

使用正切半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.3

Change the $\pm$ to $+$ because tangent is positive in the third quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$ 。

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解题步骤 6.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 6.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.7

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}}$

解题步骤 6.4.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

解题步骤 6.4.9

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

解题步骤 6.4.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

解题步骤 6.4.11

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

解题步骤 6.4.12

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

解题步骤 6.4.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.13.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

解题步骤 6.4.13.2

重写表达式。

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

解题步骤 6.4.14

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

解题步骤 6.4.15

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

解题步骤 6.4.16

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

解题步骤 6.4.17

化简。

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

解题步骤 6.4.18

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 6.4.19

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 6.4.19.1

运用分配律。

$\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 6.4.19.2

运用分配律。

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 6.4.19.3

运用分配律。

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.4.20

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.4.20.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.20.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.4.20.1.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.4.20.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

解题步骤 6.4.20.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

解题步骤 6.4.20.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 6.4.20.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

解题步骤 6.4.20.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

解题步骤 6.4.20.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

小数形式：

$3.73205080 \dots$

三角学 示例

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