三角学示例

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

解题步骤 1

使用两角和公式。

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

解题步骤 2.2

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

解题步骤 2.3

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

解题步骤 2.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

解题步骤 2.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

解题步骤 2.6

在平面中画出顶点为 $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ 、 $(y, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (y)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (y))$ 为 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

解题步骤 2.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = y$ 。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

解题步骤 2.9

使用根数乘积法则进行合并。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$

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