三角学示例

$\cos (2 \arccos (x))$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

解题步骤 2.2

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

解题步骤 2.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

解题步骤 2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

解题步骤 2.5.5

化简。

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

解题步骤 2.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

解题步骤 2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

解题步骤 2.7.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

解题步骤 2.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

解题步骤 2.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

解题步骤 2.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

解题步骤 2.7.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

解题步骤 2.7.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - (1 - x^{2})$

解题步骤 2.8

运用分配律。

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

解题步骤 2.10

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

解题步骤 2.10.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 1 + x^{2}$

解题步骤 3

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$2 x^{2} - 1$

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