三角学示例

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 2.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.3

乘以 $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{1}{\sin (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{2}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3

加上分数。

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解题步骤 3.1

要将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (x) \sin (x)$ 的形式。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.3.3

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 4

化简每一项。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 6

将 $- {\cos (x)}^{2}$ 和 $2 {\cos (x)}^{2}$ 相加。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 7

现在，考虑等式的右边。

$\sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

解题步骤 8

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 8.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + \cot (x)$

解题步骤 8.2

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

解题步骤 8.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 10

加上分数。

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解题步骤 10.1

要将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 10.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (x) \sin (x)$ 的形式。

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解题步骤 10.2.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 10.2.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 10.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 11

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 12

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$ 是一个恒等式

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