三角学示例

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$

解题步骤 2

将 $\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$ 乘以 $\frac{- \tan (x) + \sec (x) + 1}{- \tan (x) + \sec (x) + 1}$ 。

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} \cdot \frac{- \tan (x) + \sec (x) + 1}{- \tan (x) + \sec (x) + 1}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{(\tan (x) + \sec (x) - 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(\tan (x) + \sec (x) - 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)$ 。

$\frac{\tan (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

乘以 $\tan (x) (- \tan (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- ({\tan (x)}^{1} \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- ({\tan (x)}^{1} {\tan (x)}^{1}) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.3

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1} \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.3.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1} {\sec (x)}^{1} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.4

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.5

乘以 $- 1 (- \tan (x))$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + 1 \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.6

将 $- 1 \sec (x)$ 重写为 $- \sec (x)$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.3

将 $\sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) (- \tan (x))$ 相加。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sec (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x) \tan (x) + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.3.2

从 $\sec (x) \tan (x)$ 中减去 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 0 + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.4

将 $- {\tan (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.5

将 $\tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 2 \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.6

从 $\sec (x)$ 中减去 $\sec (x)$ 。

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 2 \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + 0 - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 4.7

将 $- {\tan (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{\tan (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

乘以 $\tan (x) (- \tan (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- ({\tan (x)}^{1} \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- ({\tan (x)}^{1} {\tan (x)}^{1}) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

乘以 $- \sec (x) (- \tan (x))$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + 1 \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.4

乘以 $- \sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - ({\sec (x)}^{1} \sec (x)) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.4.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - ({\sec (x)}^{1} {\sec (x)}^{1}) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.6

将 $- \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.7

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.8

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1}$

解题步骤 5.3

将 $\sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1}$

解题步骤 5.4

从 $\tan (x)$ 中减去 $\tan (x)$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) + 0 - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + \sec (x) + 1}$

解题步骤 5.5

将 $- {\tan (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + \sec (x) + 1}$

解题步骤 5.6

将 $- \sec (x)$ 和 $\sec (x)$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} + 0 + 1}$

解题步骤 5.7

将 $- {\tan (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

解题步骤 6.2

将 $- \tan^{2} (x)$ 和 $\sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

解题步骤 6.3

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

解题步骤 6.4

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x)) + 1}$

解题步骤 6.5

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 6.6

从 $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) - 1)}$

解题步骤 6.7

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.8

化简分子。

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解题步骤 6.8.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1 + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.4

将 $0$ 和 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.9

化简分母。

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解题步骤 6.9.1

从 $- \tan^{2} (x)$ 中减去 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.9.2

从 $2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

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解题步骤 6.9.2.1

从 $2 \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan^{2} (x)}$

解题步骤 6.9.2.2

从 $- 2 \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- \tan (x))}$

解题步骤 6.9.2.3

从 $2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- \tan (x))$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

解题步骤 6.9.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}$

解题步骤 6.9.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 6.9.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 6.9.6

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 6.10

约去 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 6.10.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 7.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 8

将 $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 9

合并。

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 10.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

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解题步骤 11.1.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 11.1.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 11.1.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 11.2

化简并合并同类项。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 12

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

从 $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 13.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 13.1.2

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 13.1.3

从 $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 14

现在，考虑等式的右边。

$\tan (x) + \sec (x)$

解题步骤 15

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 15.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

解题步骤 15.2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 16

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x)}$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 18

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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