三角学示例

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2

加上分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 的因式。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.2

将 $\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 6.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.1.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.1.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.4

从 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

从 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.4.2

从 $\sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.4.3

从 $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.5

要将 $\cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.7

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 7.1.7.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.7.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.1.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.4

合并。

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.5

约去 $\sin (x)$ 和 ${\sin (x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

从 $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.5.2.1

从 $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

解题步骤 7.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

解题步骤 7.5.2.3

重写表达式。

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 7.6

将 $1 + {\cos (x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 8

现在，考虑等式的右边。

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 9

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 9.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 9.2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

解题步骤 9.3

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 11

加上分数。

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解题步骤 11.1

要将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 11.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sin (x) \cos (x)$ 的形式。

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解题步骤 11.2.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 11.2.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 12

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 14

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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