三角学示例

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (t)$ 和 $b = \cos (t)$ 。

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin^{2} (t) - \sin (t) \cos (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

重新整理项。

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

解题步骤 2.2.2

使用勾股恒等式。

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1)$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.1.2

运用分配律。

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.1.3

运用分配律。

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

乘以 $\sin (t) (- \sin (t) \cos (t))$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- ({\sin (t)}^{1} \sin (t)) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- ({\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1}) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (t)}^{1 + 1} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.2

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.3

乘以 $\cos (t) (- \sin (t) \cos (t))$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.3.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{1 + 1} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.1.2.4

将 $\cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

解题步骤 3.2

将 $- {\sin (t)}^{2} \cos (t)$ 和 ${\sin (t)}^{2} \cos (t)$ 相加。

$\sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + 0$

解题步骤 3.3

将 $\sin (t)$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \sin (t)$

解题步骤 3.4

将 $- \sin (t) {\cos (t)}^{2}$ 和 $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ 相加。

$0 + \cos (t) + \sin (t)$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\cos (t)$ 相加。

$\cos (t) + \sin (t)$

解题步骤 4

将 $\cos (t) + \sin (t)$ 重写为 $\sin (t) + \cos (t)$ 。

$\sin (t) + \cos (t)$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$ 是一个恒等式

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