三角学示例

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - \cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cot (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (1 - \cot (x))}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cot (x))}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.3

化简分母。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.3.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\frac{1}{\sin^{2} (x)}} + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

$(1 (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.2

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.5.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.7

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.1.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.2

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 相加。

$(1 + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.6.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(1 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.7

运用分配律。

$1 \sin^{2} (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.8

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.9

约去 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\sin^{2} (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.9.2

约去公因数。

$\sin^{2} (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.9.3

重写表达式。

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.2

将 $- \cos^{2} (x)$ 和 $2 \cos^{2} (x)$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.3

使用勾股恒等式。

$1$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x) = 1$ 是一个恒等式

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