三角学示例

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$

解题步骤 1

从左边开始。

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 ${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$ 重写为 $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ 。

$(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\cos (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x)) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $\cos (2 x) \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.2

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (2 x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $\sin (2 x) \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.3.1.2.2

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)$

解题步骤 2.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 的因式。

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $\cos (2 x) \sin (2 x)$ 和 $\cos (2 x) \sin (2 x)$ 相加。

$\cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 2.4

移动 $\sin^{2} (2 x)$ 。

$\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.5

重新整理项。

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

解题步骤 2.7

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1

将 $2 \cos (2 x)$ 和 $\sin (2 x)$ 重新排序。

$1 + \sin (2 x) (2 \cos (2 x))$

解题步骤 2.7.2

将 $\sin (2 x)$ 和 $2$ 重新排序。

$1 + 2 \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)$

解题步骤 2.7.3

使用正弦倍角公式。

$1 + \sin (2 (2 x))$

解题步骤 2.7.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 + \sin (4 x)$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$ 是一个恒等式

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