三角学示例

sin (285)

$\sin (285)$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中，

285

$285$ 可以被拆分为

225 + 60

$225 + 60$ 。

sin (225 + 60)

$\sin (225 + 60)$

解题步骤 2

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

sin (225) cos (60) + cos (225) sin (60)

$\sin (225) \cos (60) + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 3

去掉圆括号。

sin (225) cos (60) + cos (225) sin (60)

$\sin (225) \cos (60) + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

- sin (45) cos (60) + cos (225) sin (60)

$- \sin (45) \cos (60) + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 4.2

sin (45)

$\sin (45)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{2} cos (60) + cos (225) sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (60) + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 4.3

cos (60)

$\cos (60)$ 的准确值为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + cos (225) sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 4.4

乘以

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + cos (225) sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 4.4.2

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{4} + cos (225) sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (225) \sin (60)$

- \frac{\sqrt{2}}{4} + cos (225) sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (225) \sin (60)$

解题步骤 4.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - cos (45) sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (45) \sin (60)$

解题步骤 4.6

cos (45)

$\cos (45)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} sin (60)

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (60)$

解题步骤 4.7

sin (60)

$\sin (60)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.8

乘以

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.8.1

将

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.8.3

将

3

$3$ 乘以

2

$2$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.8.4

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5.2

从

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}

$\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5.3

从

- \sqrt{6}

$- \sqrt{6}$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}

$\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.4

从

- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})

$- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将

- (\sqrt{2} + \sqrt{6})

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ 重写为

- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})

$- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

小数形式：

$- 0.96592582 \dots$

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