三角学示例

$\tan (\frac{11 π}{12})$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $\frac{11 π}{12}$ 可以被拆分为 $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ 。

$\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

解题步骤 2

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{\tan (\frac{2 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 3.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 3.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.3

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.3.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.4

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

解题步骤 4.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

解题步骤 5

将 $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

解题步骤 6.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简。

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

重新排序项。

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 7.2

对 $1 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 7.3

对 $1 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

解题步骤 7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

解题步骤 7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

解题步骤 8

将 ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 9

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10.1.2

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 10.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

解题步骤 10.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

解题步骤 10.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 10.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

解题步骤 10.1.5.5

计算指数。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

解题步骤 10.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 10.3

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11

约去 $4 - 2 \sqrt{3}$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.3

从 $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 11.4

移动 $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

解题步骤 12

将 $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ 重写为 $- (2 - \sqrt{3})$ 。

$- (2 - \sqrt{3})$

解题步骤 13

运用分配律。

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

解题步骤 14

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - - \sqrt{3}$

解题步骤 15

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 + \sqrt{3}$

小数形式：

$- 0.26794919 \dots$

三角学 示例

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