三角学示例

$\sec (- \frac{5 π}{12})$

解题步骤 1

使用运用基本恒等式的等效表达式 $\frac{1}{\cos (- \frac{5 π}{12})}$ 替换 $\sec (- \frac{5 π}{12})$ 。

$\frac{1}{\cos (- \frac{5 π}{12})}$

解题步骤 2

在分母上使用和公式或差公式。

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解题步骤 2.1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $- \frac{5 π}{12}$ 可以被拆分为 $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ 。

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.2

使用余弦的差公式化简表达式。该公式表述为 $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ 。

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.3

去掉圆括号。

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4.4

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 2.4.7

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 2.4.8

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.8.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.8.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.8.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

解题步骤 3.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ 。

$\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ 。

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

解题步骤 3.6

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简。

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

移动 $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$

解题步骤 3.8.2

将 $- 1 \cdot (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$ 重写为 $- (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$ 。

$- (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$

解题步骤 3.9

运用分配律。

$- - \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

解题步骤 3.10

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

解题步骤 3.10.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{2} - - \sqrt{6}$

解题步骤 3.11

乘以 $- - \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

解题步骤 3.11.2

将 $\sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{2} + \sqrt{6}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{2} + \sqrt{6}$

小数形式：

$3.86370330 \dots$

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