三角学示例

$\cot^{4} (x) + 3 \cot^{2} (x) + 2$

解题步骤 1

将 $\cot^{4} (x)$ 重写为 ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\cot^{2} (x))}^{2} + 3 \cot^{2} (x) + 2$

解题步骤 2

使 $u = \cot^{2} (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cot^{2} (x)$ 。

$u^{2} + 3 u + 2$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 2)$

解题步骤 4

使用 $\cot^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\cot^{2} (x) + 1) (\cot^{2} (x) + 2)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新整理项。

$(1 + \cot^{2} (x)) (\cot^{2} (x) + 2)$

解题步骤 5.2

使用勾股恒等式。

$\csc^{2} (x) (\cot^{2} (x) + 2)$

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