三角学示例

$f (x) = - 2 \cos (3 x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ 写为等式。

$y = - 2 \cos (3 x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - 2 \cos (3 y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 2 \cos (3 y) = x$ 。

$- 2 \cos (3 y) = x$

解题步骤 3.2

将 $- 2 \cos (3 y) = x$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 2 \cos (3 y) = x$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos (3 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos (3 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $\cos (3 y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (3 y) = \frac{x}{- 2}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (3 y) = - \frac{x}{2}$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$

解题步骤 3.4

将 $3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$ 是否为 $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x))$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x)}{2})}{3}$

解题步骤 5.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $- 2 \cos (3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2})}{3}$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2 (1)})}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2 \cdot 1})}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x)}{1})}{3}$

解题步骤 5.2.3.2.4

用 $- \cos (3 x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3})$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}))$

解题步骤 5.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}))$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

解题步骤 5.3.4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

解题步骤 5.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \frac{- x}{2}$

解题步骤 5.3.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

解题步骤 5.3.5.3

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

解题步骤 5.3.5.4

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 1 (- x)$

解题步骤 5.3.6

乘。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 1 x$

解题步骤 5.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$ 为 $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

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