三角学示例

(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

解题步骤 1

运用分配律。

4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

解题步骤 2

将

8

$8$ 乘以

4

$4$ 。

32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

解题步骤 3

乘以

- 4 i (8 i)

$- 4 i (8 i)$ 。

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解题步骤 3.1

将

8

$8$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

32 \sqrt{3} i - 32 i i

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

解题步骤 3.2

对

i

$i$ 进行

1

$1$ 次方运算。

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

解题步骤 3.3

对

i

$i$ 进行

1

$1$ 次方运算。

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

解题步骤 3.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

解题步骤 3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将

$i^{2}$ 重写为

$- 1$ 。

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

解题步骤 4.2

将

$- 32$ 乘以

$- 1$ 。

$32 \sqrt{3} i + 32$

解题步骤 5

将

$32 \sqrt{3} i$ 和

$32$ 重新排序。

$32 + 32 \sqrt{3} i$

解题步骤 6

这是复数的三角函数形式，其中

$| z |$ 是模数，

$θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 7

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当

$z = a + b i$ 时，

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 8

代入

$a = 32$ 和

$b = 32 \sqrt{3}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

解题步骤 9

求

$| z |$ 。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

对

$32 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

解题步骤 9.1.2

对

$32$ 进行

$2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

解题步骤 9.2

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 9.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

解题步骤 9.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

解题步骤 9.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

解题步骤 9.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

解题步骤 9.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

解题步骤 9.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将

$1024$ 乘以

$3$ 。

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

解题步骤 9.3.2

对

$32$ 进行

$2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

解题步骤 9.3.3

将

$3072$ 和

$1024$ 相加。

$| z | = \sqrt{4096}$

解题步骤 9.3.4

将

$4096$ 重写为

$64^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

解题步骤 9.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 64$

解题步骤 10

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

解题步骤 11

因为

$\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为

$\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 12

代入

$θ = \frac{π}{3}$ 和

$| z | = 64$ 的值。

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

三角学 示例

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