三角学示例

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.5

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.6

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.7

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.8

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $15 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $15$ 乘以 $- 4$ 。

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.12

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.13

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.14

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.19

将 $8$ 乘以 $- 20$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.20

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.21

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.22

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.23

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.24

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.24.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.25

乘以 $15 (16 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.25.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.25.2

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.26

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.27

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.28

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.30

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.30.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.30.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.30.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.31

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.32

将 $- 32$ 乘以 $- 6$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

解题步骤 2.1.33

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

解题步骤 2.1.34

对 $- 2$ 进行 $6$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

解题步骤 2.1.35

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

解题步骤 2.1.36

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.36.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

解题步骤 2.1.36.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

解题步骤 2.1.36.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

解题步骤 2.1.37

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

解题步骤 2.1.38

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.39

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $60$ 。

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 59$ 和 $240$ 相加。

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

解题步骤 2.2.2.2

从 $181$ 中减去 $64$ 。

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

解题步骤 2.2.3

从 $12 i$ 中减去 $160 i$ 。

$117 - 148 i + 192 i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 148 i$ 和 $192 i$ 相加。

$117 + 44 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = 117$ 和 $b = 44$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $44$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $117$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

解题步骤 6.3

将 $1936$ 和 $13689$ 相加。

$| z | = \sqrt{15625}$

解题步骤 6.4

将 $15625$ 重写为 $125^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

解题步骤 6.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 125$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

解题步骤 8

因为 $\frac{44}{117}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $0.35970699$ 。

$θ = 0.35970699$

解题步骤 9

代入 $θ = 0.35970699$ 和 $| z | = 125$ 的值。

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$

三角学 示例

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