三角学示例

$\sin (3 x)$

解题步骤 1

展开

$\sin (3 x)$ 的好方法是利用棣美弗定理

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ 。当

$r = 1$ 时，

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ 。

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

解题步骤 2

使用二项式定理来展开

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ 的右边。

展开：

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{3}$

解题步骤 3

使用二项式定理。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) (i \sin (x)) + 3 \cos (x) {(i \sin (x))}^{2} + {(i \sin (x))}^{3}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对

$i \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

解题步骤 4.1.2

将

$i^{2}$ 重写为

$- 1$ 。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

解题步骤 4.1.3

将

$- 1 \sin^{2} (x)$ 重写为

$- \sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

解题步骤 4.1.4

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + {(i \sin (x))}^{3}$

解题步骤 4.1.5

对

$i \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{3} \sin^{3} (x)$

解题步骤 4.1.6

因式分解出

$i^{2}$ 。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)$

解题步骤 4.1.7

将

$i^{2}$ 重写为

$- 1$ 。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot i \sin^{3} (x)$

解题步骤 4.1.8

将

$- 1 i$ 重写为

$- i$ 。

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

解题步骤 4.2

将

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$ 中的因式重新排序。

$\cos^{3} (x) + 3 i \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

解题步骤 5

提取虚部等于

$\sin (3 x)$ 的表达式。去掉虚数

$i$ 。

$\sin (3 x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$

三角学 示例

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