三角学示例

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y - 36 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $36$ 。

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$

解题步骤 1.2

对 $9 x^{2} - 36 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 18}{9}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 18$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 36$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $1296$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$e = 0 - 36$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$e = - 36$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

解题步骤 1.3

在方程 $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$ 中，用 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 代替 $9 x^{2} - 36 x$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} - 24 y = 36$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $- 36$ 移到等式右边。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 36 + 36$

解题步骤 1.5

对 $- 4 y^{2} - 24 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $- 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 12}{- 4}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $- 12$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{3}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$d = 3$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $- 16$ 。

$e = 0 - - 36$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$e = 0 + 36$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$e = 36$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ 。

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

解题步骤 1.6

在方程 $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$ 中，用 $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ 代替 $- 4 y^{2} - 24 y$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $36$ 移到等式右边。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

解题步骤 1.8

化简 $36 + 36 - 36$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $36$ 和 $36$ 相加。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

解题步骤 1.8.2

从 $72$ 中减去 $36$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $36$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(2, - 3)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + 9}$

解题步骤 5.3.3

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{13}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, - 3)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, - 3)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(4, - 3), (0, - 3)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2 + \sqrt{13}, - 3)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2 - \sqrt{13}, - 3)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(2 + \sqrt{13}, - 3), (2 - \sqrt{13}, - 3)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

解题步骤 8.3.3

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{9}{\sqrt{13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 。

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{9}{\sqrt{13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 。

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.3.2

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

解题步骤 11.2

化简 $\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$ 。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 3$

解题步骤 11.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

解题步骤 11.2.1.3

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) - 3$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - 3$

解题步骤 11.2.1.4.3

重写表达式。

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 11.2.1.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{3 x}{2} - 3 - 3$

解题步骤 11.2.2

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$y = \frac{3 x}{2} - 6$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

解题步骤 12.2

化简 $- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$ 。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 3$

解题步骤 12.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

解题步骤 12.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

解题步骤 12.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.4.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 - 3$

解题步骤 12.2.1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) - 3$

解题步骤 12.2.1.4.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - 3$

解题步骤 12.2.1.4.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 - 3$

解题步骤 12.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 - 3$

解题步骤 12.2.1.6

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 - 3$

解题步骤 12.2.2

合并 $- \frac{3 x}{2} + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + 0$

解题步骤 12.2.2.2

将 $- \frac{3 x}{2}$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{3 x}{2}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{3 x}{2} - 6, y = - \frac{3 x}{2}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(2, - 3)$

顶点： $(4, - 3), (0, - 3)$

焦点： $(2 + \sqrt{13}, - 3), (2 - \sqrt{13}, - 3)$

离心率： $\frac{\sqrt{13}}{2}$

焦点参数： $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

渐近线： $y = \frac{3 x}{2} - 6$ ， $y = - \frac{3 x}{2}$

解题步骤 15

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