三角学示例

${(2 - 2 i)}^{5}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.3

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $80$ 。

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.6

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.7

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.8

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $80 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $80$ 乘以 $- 4$ 。

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.12

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.13

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.14

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.19

将 $8$ 乘以 $40$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.20

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.21

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.22

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.23

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.23.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.23.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.23.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.24

乘以 $10 (16 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $10$ 乘以 $16$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.25

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

解题步骤 2.1.26

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

解题步骤 2.1.27

因式分解出 $i^{4}$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

解题步骤 2.1.28

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.28.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

解题步骤 2.1.28.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

解题步骤 2.1.28.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

解题步骤 2.1.29

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $32$ 中减去 $320$ 。

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

解题步骤 2.2.2

将 $- 288$ 和 $160$ 相加。

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

解题步骤 2.2.3

将 $- 160 i$ 和 $320 i$ 相加。

$- 128 + 160 i - 32 i$

解题步骤 2.2.4

从 $160 i$ 中减去 $32 i$ 。

$- 128 + 128 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 128$ 和 $b = 128$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $128$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 128$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

解题步骤 6.3

将 $16384$ 和 $16384$ 相加。

$| z | = \sqrt{32768}$

解题步骤 6.4

将 $32768$ 重写为 $128^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $32768$ 中分解出因数 $16384$ 。

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

解题步骤 6.4.2

将 $16384$ 重写为 $128^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.5

从根式下提出各项。

$| z | = 128 \sqrt{2}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

解题步骤 8

因为 $\frac{128}{- 128}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$θ = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 9

代入 $θ = \frac{3 π}{4}$ 和 $| z | = 128 \sqrt{2}$ 的值。

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

三角学 示例

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