三角学示例

${(4 + 4 i)}^{7}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$4^{7} + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$16384 + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2

通过指数相加将 $4^{6}$ 乘以 $4$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

移动 $4$ 。

$16384 + 7 \cdot (4 \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $4^{6}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$16384 + 7 \cdot (4^{1} \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16384 + 7 \cdot 4^{1 + 6} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$16384 + 7 \cdot 4^{7} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.3

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$16384 + 7 \cdot 16384 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.4

将 $7$ 乘以 $16384$ 。

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.5

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 1024 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.6

将 $21$ 乘以 $1024$ 。

$16384 + 114688 i + 21504 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.7

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$16384 + 114688 i + 21504 (4^{2} i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16384 + 114688 i + 21504 (16 i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i + 21504 (16 \cdot - 1) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $21504 (16 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i + 21504 \cdot - 16 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $21504$ 乘以 $- 16$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.11

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 256 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.12

将 $35$ 乘以 $256$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.13

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (4^{3} i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.14

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (- 64 i) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.19

将 $- 64$ 乘以 $8960$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.20

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 64 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.21

将 $35$ 乘以 $64$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.22

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (4^{4} i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.23

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.24

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.24.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 \cdot 1) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.25

乘以 $2240 (256 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.25.1

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 \cdot 256 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.25.2

将 $2240$ 乘以 $256$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.26

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 16 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.27

将 $21$ 乘以 $16$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.28

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (4^{5} i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.29

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.30

因式分解出 $i^{4}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (i^{4} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.31

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.31.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.31.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.31.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (1 i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.32

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.33

将 $1024$ 乘以 $336$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.34

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.35

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4^{6} i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.36

对 $4$ 进行 $6$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.37

因式分解出 $i^{4}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (i^{4} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.38

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.38.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.38.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.38.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (1 i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.39

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{2}) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.40

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 \cdot - 1) + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.41

乘以 $28 (4096 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.41.1

将 $4096$ 乘以 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 \cdot - 4096 + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.41.2

将 $28$ 乘以 $- 4096$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + {(4 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.42

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 4^{7} i^{7}$

解题步骤 2.1.43

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 i^{7}$

解题步骤 2.1.44

将 $i^{7}$ 重写为 $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ 。

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解题步骤 2.1.44.1

因式分解出 $i^{4}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} i^{3})$

解题步骤 2.1.44.2

因式分解出 $i^{2}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.45

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.45.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.45.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.45.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (1 (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.46

将 $i^{2} \cdot i$ 乘以 $1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{2} \cdot i)$

解题步骤 2.1.47

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- 1 \cdot i)$

解题步骤 2.1.48

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- i)$

解题步骤 2.1.49

将 $- 1$ 乘以 $16384$ 。

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $16384$ 中减去 $344064$ 。

$- 327680 + 114688 i - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 327680$ 和 $573440$ 相加。

$245760 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 114688 - 16384 i$

解题步骤 2.2.2.2

从 $245760$ 中减去 $114688$ 。

$131072 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 16384 i$

解题步骤 2.2.3

从 $114688 i$ 中减去 $573440 i$ 。

$131072 - 458752 i + 344064 i - 16384 i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 458752 i$ 和 $344064 i$ 相加。

$131072 - 114688 i - 16384 i$

解题步骤 2.2.5

从 $- 114688 i$ 中减去 $16384 i$ 。

$131072 - 131072 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = 131072$ 和 $b = - 131072$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 131072)}^{2} + 131072^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $- 131072$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{17179869184 + 131072^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $131072$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{17179869184 + 17179869184}$

解题步骤 6.3

将 $17179869184$ 和 $17179869184$ 相加。

$| z | = \sqrt{34359738368}$

解题步骤 6.4

将 $34359738368$ 重写为 $131072^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $34359738368$ 中分解出因数 $17179869184$ 。

$| z | = \sqrt{17179869184 (2)}$

解题步骤 6.4.2

将 $17179869184$ 重写为 $131072^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{131072^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.5

从根式下提出各项。

$| z | = 131072 \sqrt{2}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 131072}{131072})$

解题步骤 8

因为 $\frac{- 131072}{131072}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- \frac{π}{4}$ 。

$θ = - \frac{π}{4}$

解题步骤 9

代入 $θ = - \frac{π}{4}$ 和 $| z | = 131072 \sqrt{2}$ 的值。

$131072 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$

三角学 示例

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