三角学示例

$\sec (\frac{15 π}{8})$

解题步骤 1

使用运用基本恒等式的等效表达式 $\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$ 替换 $\sec (\frac{15 π}{8})$ 。

$\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$ 转换成 $\sec (\frac{15 π}{8})$ 。

$\sec (\frac{15 π}{8})$

解题步骤 2.2

$\sec (\frac{15 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{15 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

解题步骤 2.2.2

对 $\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

解题步骤 2.2.3

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

解题步骤 2.2.4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the fourth quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

解题步骤 2.2.5

化简 $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.5.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.2.2

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

解题步骤 2.2.5.2.3

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 2.2.5.2.4

化简分母。

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解题步骤 2.2.5.2.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

解题步骤 2.2.5.2.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

解题步骤 2.2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 2.2.5.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

小数形式：

$1.08239220 \dots$

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