三角学示例

$\tan (- 105)$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $- 105$ 可以被拆分为 $45 - 150$ 。

$\tan (45 - 150)$

解题步骤 2

使用正切的差公式化简表达式。该公式表述为 $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 3

去掉圆括号。

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4.3

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

解题步骤 5.2

将 $\tan (150)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

解题步骤 5.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

解题步骤 5.4

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 5.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

解题步骤 9.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.3

化简。

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.5.3

重写表达式。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.6

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 10.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 10.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

解题步骤 10.4

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

解题步骤 10.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

解题步骤 10.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

解题步骤 10.5

约去 $3 \sqrt{3} + 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

解题步骤 10.5.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

解题步骤 10.5.3

从 $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

解题步骤 10.5.4

约去公因数。

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解题步骤 10.5.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

解题步骤 10.5.4.2

约去公因数。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

解题步骤 10.5.4.3

重写表达式。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

解题步骤 11

化简项。

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解题步骤 11.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

解题步骤 11.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.4

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.4.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

解题步骤 11.4.3

从 $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 11.4.4

约去公因数。

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解题步骤 11.4.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

解题步骤 11.4.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.4.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 11.4.4.4

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$2 + \sqrt{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 + \sqrt{3}$

小数形式：

$3.73205080 \dots$

三角学 示例

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