三角学示例

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

重新整理项。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

解题步骤 2.2

使用勾股恒等式。

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (x)$ 。

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

化简分母。

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解题步骤 2.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 2.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 2.5

将分子乘以分母的倒数。

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5

乘以 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.7.1.5.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.1.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.2

将 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 相加。

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.7.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.8

运用分配律。

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.9

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.10

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.1

将 $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.10.2

约去公因数。

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.10.3

重写表达式。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 2.11

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 x)$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ 是一个恒等式

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