三角学示例

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x) = \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $\csc^{4} (x)$ 重写为 ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\csc^{2} (x))}^{2} - \cot^{4} (x)$

解题步骤 2.2

将 $\cot^{4} (x)$ 重写为 ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\csc^{2} (x))}^{2} - {(\cot^{2} (x))}^{2}$

解题步骤 2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \csc^{2} (x)$ 和 $b = \cot^{2} (x)$ 。

$(\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

解题步骤 2.4.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

解题步骤 2.4.3

一的任意次幂都为一。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

解题步骤 2.4.4

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

解题步骤 2.4.5

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

解题步骤 2.5

使用勾股恒等式。

$(\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cdot 1$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

现在，考虑等式的右边。

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 4

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 4.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)$

解题步骤 4.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 4.3

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 4.4

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\csc^{4} (x) - \cot^{4} (x) = \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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