三角学示例

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

解题步骤 2.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 2.3

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.7

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.7.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.7.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.7.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.7.7

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

解题步骤 2.7.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.7.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ 是一个恒等式

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