三角学示例

$\cos^{2} (x) + \csc^{2} (x) - 1$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

移动 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.2

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- 1 + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.4

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.6

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

解题步骤 2

使用勾股恒等式。

$- \sin^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.1.3

一的任意次幂都为一。

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 。

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 5

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 重新排序。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{\sin (x)}$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$(\csc (x) + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$

解题步骤 9

使用 FOIL 方法展开 $(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

合并 $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.1

按照 $\csc (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \csc (x)$ 重新排列因数。

$\csc (x) \csc (x) - \csc (x) \sin (x) + \csc (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.1.2

将 $- \csc (x) \sin (x)$ 和 $\csc (x) \sin (x)$ 相加。

$\csc (x) \csc (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.1.3

将 $\csc (x) \csc (x)$ 和 $0$ 相加。

$\csc (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

乘以 $\csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc^{1} (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.2.1.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\csc (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\csc^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 10.2.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 10.2.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 10.2.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 10.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 10.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

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