三角学示例

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (x) \sin (x)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{(\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.3

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{(\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.2

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.4

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.5

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.6

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.7

以因式分解的形式重写 $2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.7.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.7.3

使用正弦倍角公式。

$\frac{\sin (2 x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.8

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.9

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.10

从 $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.11

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin (2 x) - 1 \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 5.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 x) - 1}{\cos (x) \sin (x)}$

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