三角学示例

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = - 1$

解题步骤 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (- 1)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2

要将 $- \frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.3

要将 $- \frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{12}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{12}$

解题步骤 3.6.3

从 $- 3 π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{12}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (- \frac{5 π}{12})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $2 (- \frac{5 π}{12})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{5 π}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$x = 2 \frac{- 5 π}{12}$

解题步骤 5.2.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (6)}$

解题步骤 5.2.1.1.3

约去公因数。

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.2.1.1.4

重写表达式。

$x = \frac{- 5 π}{6}$

解题步骤 5.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 7.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3.1.2

要将 $\frac{3 π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3.1.3

要将 $- \frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 7.3.1.4.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.1.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3.1.4.3

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

解题步骤 7.3.1.4.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

解题步骤 7.3.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

解题步骤 7.3.1.6

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{12}$

解题步骤 7.3.1.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{12}$

解题步骤 7.3.1.6.3

从 $9 π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 7.3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 7.3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 7.3.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 7.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

解题步骤 7.3.3.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.3.3.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8

求 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{5 π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{5 π}{6} + 2 π$

解题步骤 9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 9.3

合并分数。

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解题步骤 9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 9.4.2

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$\frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 10

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并答案。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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