三角学示例

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) = 1$

解题步骤 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \arctan (1)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 3.3

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

解题步骤 3.6.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

解题步骤 3.6.3

将 $3 π$ 和 $4 π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 6

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.1.2

合并分数。

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解题步骤 7.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 7.1.3

化简分子。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$

解题步骤 7.2.2

要将 $\frac{5 π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 7.2.3

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

解题步骤 7.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

解题步骤 7.2.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.6.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{15 π + π \cdot 4}{12}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{15 π + 4 \cdot π}{12}$

解题步骤 7.2.6.3

将 $15 π$ 和 $4 π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{19 π}{12}$

解题步骤 7.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{19 π}{12}$

解题步骤 7.4

化简方程的两边。

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解题步骤 7.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{19 π}{12}$

解题步骤 7.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{19 π}{12}$

解题步骤 7.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{19 π}{2 (6)}$

解题步骤 7.4.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{19 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.4.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{19 π}{6}$

解题步骤 8

求 $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 9

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{19 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并答案。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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