三角学示例

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $2 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

乘以 $2 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = - 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 4.2.1.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{- 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 6.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

乘以 $2 \frac{4 π}{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{4 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 (4 π)}{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π}{3}$

解题步骤 7

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 8

将 $4 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.1

将 $4 π$ 加到 $- \frac{2 π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

解题步骤 8.2

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 8.3

合并分数。

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解题步骤 8.3.1

组合 $4 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 8.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

解题步骤 8.4.2

从 $12 π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{10 π}{3}$

解题步骤 8.5

列出新角。

$x = \frac{10 π}{3}$

解题步骤 9

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{8 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

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