三角学示例

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \sin^{2} (2 x)$ 替换 $\cos^{2} (2 x)$ 。

$(1 - \sin^{2} (2 x)) - \sin^{2} (2 x) = 0$

解题步骤 2

从 $- \sin^{2} (2 x)$ 中减去 $\sin^{2} (2 x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (2 x) = 0$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 1 = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$

解题步骤 5

将 $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\sin^{2} (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.4.6.5

计算指数。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10

在 $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$2 x = \frac{π}{4}$

解题步骤 10.3

将 $2 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $2 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 10.3.2

化简左边。

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解题步骤 10.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 10.3.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 10.3.3.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 10.3.3.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 10.3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 10.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 10.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.5.1

化简。

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解题步骤 10.5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 10.5.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 10.5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 10.5.1.4

从 $π \cdot 4$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 10.5.1.4.1

将 $π$ 和 $4$ 重新排序。

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 10.5.1.4.2

从 $4 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

解题步骤 10.5.2

将 $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.5.2.1

将 $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

解题步骤 10.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

解题步骤 10.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

解题步骤 10.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 10.5.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 10.5.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 10.5.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{8}$

解题步骤 10.6

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 10.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 10.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 10.6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.7

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$2 x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 11.3

将 $2 x = - \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $2 x = - \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 11.3.2

化简左边。

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解题步骤 11.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 11.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 11.3.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 11.3.3.2

乘以 $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 11.3.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = - \frac{π}{8}$

解题步骤 11.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 11.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 11.5.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 11.5.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$2 x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 11.5.3

将 $2 x = \frac{5 π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.5.3.1

将 $2 x = \frac{5 π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

解题步骤 11.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 11.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

解题步骤 11.5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

解题步骤 11.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 11.5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 11.5.3.3.2

乘以 $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 11.5.3.3.2.1

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 11.5.3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 π}{8}$

解题步骤 11.6

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 11.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 11.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 11.6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.7.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{8}$ 以求正角。

$- \frac{π}{8} + π$

解题步骤 11.7.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

解题步骤 11.7.3

合并分数。

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解题步骤 11.7.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

解题步骤 11.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

解题步骤 11.7.4

化简分子。

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解题步骤 11.7.4.1

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

解题步骤 11.7.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{8}$

解题步骤 11.7.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{8}$

解题步骤 11.8

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

合并答案。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

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