三角学示例

$\csc^{2} (x) = 4$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 2

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\csc (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\csc (x) = \pm 2$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (x) = 2$

解题步骤 3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (x) = 2, - 2$

解题步骤 4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = 2$

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 5

在 $\csc (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (2)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

$arccsc (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 5.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 5.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.6

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

在 $\csc (x) = - 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 2)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$arccsc (- 2)$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.4.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 6.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 6.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 6.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 6.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.6.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 6.6.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 6.6.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 6.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并解集。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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