三角学示例

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.4

在公分母上合并分子。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

乘以 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4

$\sin (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.2

使用正弦半角公式。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.9

化简分母。

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解题步骤 1.4.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.6

乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.6.1

将 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 2.2

从 $- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 2.3

从 $\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

解题步骤 2.4

从 $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

将 $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

解题步骤 2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

小数形式：

$0.5$

三角学 示例

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