三角学示例

$\sin (165) + \sin (105)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\sin (165)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (15) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.2

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (45 - 30) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.3

将被减数和减数分开。

$\sin (45 - (30)) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.4

应用角度恒等式的差。

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.5

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.7

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + \sin (105)$

解题步骤 1.1.8

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (105)$

解题步骤 1.1.9.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \sin (105)$

解题步骤 1.2

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \sin (75)$

解题步骤 1.2.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \sin (30 + 45)$

解题步骤 1.2.3

使用两角和公式。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 1.2.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 1.2.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 1.2.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)$

解题步骤 1.2.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 1.2.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 2.3

将 $- \sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{6} + 0}{4}$

解题步骤 2.4

将 $2 \sqrt{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $2 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{6})}{4}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

小数形式：

$1.22474487 \dots$

三角学 示例

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