三角学示例

$\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ 为 $\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.5

计算指数。

$\sqrt{1 + \frac{3}{3^{2}}}$

解题步骤 3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 + \frac{3}{9}}$

解题步骤 4

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{1 + \frac{3 (1)}{9}}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{1}{3}}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{3 + 1}{3}}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6

将 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9

合并和化简分母。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 9.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$1.15470053 \dots$

三角学 示例

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