三角学示例

$4 \cos^{2} (4 x) - 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$

解题步骤 2

将 $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\cos^{2} (4 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (4 x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

在 $\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$4 x = \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3

将 $4 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $4 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

解题步骤 7.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

解题步骤 7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

解题步骤 7.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 7.3.3.2

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.3.3.2.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

解题步骤 7.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π}{24}$

解题步骤 7.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$4 x = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

化简。

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解题步骤 7.5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.5.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.5.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 7.5.1.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$4 x = \frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 7.5.1.5

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$4 x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 7.5.2

将 $4 x = \frac{11 π}{6}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.5.2.1

将 $4 x = \frac{11 π}{6}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

解题步骤 7.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

解题步骤 7.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

解题步骤 7.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 7.5.2.3.2

乘以 $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.5.2.3.2.1

将 $\frac{11 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 4}$

解题步骤 7.5.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{11 π}{24}$

解题步骤 7.6

求 $\cos (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 7.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.6.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 7.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 7.6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 7.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 7.7

$\cos (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$4 x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.3

将 $4 x = \frac{5 π}{6}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $4 x = \frac{5 π}{6}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

解题步骤 8.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.3.2

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 8.3.3.2.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

解题步骤 8.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{5 π}{24}$

解题步骤 8.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$4 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.5.1

化简。

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解题步骤 8.5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.5.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.5.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 8.5.1.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$4 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 8.5.1.5

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$4 x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8.5.2

将 $4 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 8.5.2.1

将 $4 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

解题步骤 8.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

解题步骤 8.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

解题步骤 8.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 8.5.2.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 8.5.2.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

解题步骤 8.5.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{7 π}{24}$

解题步骤 8.6

求 $\cos (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 8.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.6.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 8.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 8.6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 8.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 8.6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 8.7

$\cos (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{π}{24} + \frac{π n}{2}$ 和 $\frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ 。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.2

将 $\frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 和 $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ 。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

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