三角学示例

$\cos (x) + \sin (x) \tan (x) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2$

解题步骤 1.1.2

乘以 $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 2$

解题步骤 1.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 2$

解题步骤 1.1.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 2$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 2$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 2$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 4

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 6

重新整理项。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 7

使用勾股恒等式。

$1 = \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 8

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$1 = 2 \cos (x)$

解题步骤 9

将方程重写为 $2 \cos (x) = 1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 10

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 11

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 12

化简右边。

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解题步骤 12.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 13

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 14

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 14.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 14.2

合并分数。

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解题步骤 14.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 14.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 14.3

化简分子。

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解题步骤 14.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 14.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 15

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 15.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 15.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 15.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 15.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 16

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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