三角学示例

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $\sec^{2} (x) - 1$ 替换 $\tan^{2} (x)$ 。

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\sec (x)$ 。

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

解题步骤 6

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 7

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u + 2 = 0$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u = - 2$

解题步骤 8

最终解为使 $(u - 1) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 1, - 2$

解题步骤 9

代入 $\sec (x)$ 替换 $u$ 。

$\sec (x) = 1, - 2$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

解题步骤 11

在 $\sec (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (1)$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$arcsec (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 11.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 11.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 11.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\sec (x) = - 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- 2)$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$arcsec (- 2)$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 12.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 12.4

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 12.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 12.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

合并答案。

$x = \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

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