三角学示例

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

解题步骤 1

对 $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $\tan^{4} (x)$ 重写为 ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = \tan^{2} (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\tan^{2} (x)$ 。

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 20 u + 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $64$ ，和为 $- 20$ 。

$- 16, - 4$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 16) (u - 4) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $\tan^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

解题步骤 1.5

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

解题步骤 1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (x)$ 和 $b = 4$ 。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

解题步骤 1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.8

因数。

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解题步骤 1.8.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (x)$ 和 $b = 2$ 。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

解题步骤 1.8.2

去掉多余的括号。

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $\tan (x) + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\tan (x) + 4$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) + 4 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) + 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$\tan (x) = - 4$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 4)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

计算 $\arctan (- 4)$ 。

$x = - 1.32581766$

解题步骤 3.2.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

解题步骤 3.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $- 1.32581766 - (3.14159265)$ 。

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 3.2.5.2

得出的角 $1.81577498$ 是正角度且与 $- 1.32581766 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 1.81577498$

解题步骤 3.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $π$ 加到 $- 1.32581766$ 以求正角。

$- 1.32581766 + π$

解题步骤 3.2.7.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 1.32581766$

解题步骤 3.2.7.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.32581766$ 。

$1.81577498$

解题步骤 3.2.7.4

列出新角。

$x = 1.81577498$

解题步骤 3.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\tan (x) - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (x) - 4$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) - 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) - 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$\tan (x) = 4$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (4)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

计算 $\arctan (4)$ 。

$x = 1.32581766$

解题步骤 4.2.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

解题步骤 4.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

解题步骤 4.2.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

解题步骤 4.2.5.3

将 $3.14159265$ 和 $1.32581766$ 相加。

$x = 4.46741031$

解题步骤 4.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\tan (x) + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\tan (x) + 2$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) + 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\tan (x) = - 2$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 2)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

计算 $\arctan (- 2)$ 。

$x = - 1.10714871$

解题步骤 5.2.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

解题步骤 5.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $- 1.10714871 - (3.14159265)$ 。

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 5.2.5.2

得出的角 $2.03444393$ 是正角度且与 $- 1.10714871 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.03444393$

解题步骤 5.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $π$ 加到 $- 1.10714871$ 以求正角。

$- 1.10714871 + π$

解题步骤 5.2.7.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 1.10714871$

解题步骤 5.2.7.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.10714871$ 。

$2.03444393$

解题步骤 5.2.7.4

列出新角。

$x = 2.03444393$

解题步骤 5.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\tan (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\tan (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) - 2 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\tan (x) = 2$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (2)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

计算 $\arctan (2)$ 。

$x = 1.10714871$

解题步骤 6.2.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

解题步骤 6.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

解题步骤 6.2.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

解题步骤 6.2.5.3

将 $3.14159265$ 和 $1.10714871$ 相加。

$x = 4.24874137$

解题步骤 6.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.2.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $1.81577498 + π n$ 和 $1.81577498 + π n$ 合并为 $1.81577498 + π n$ 。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $1.32581766 + π n$ 和 $4.46741031 + π n$ 合并为 $1.32581766 + π n$ 。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.3

将 $2.03444393 + π n$ 和 $2.03444393 + π n$ 合并为 $2.03444393 + π n$ 。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.4

将 $1.10714871 + π n$ 和 $4.24874137 + π n$ 合并为 $1.10714871 + π n$ 。

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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