三角学示例

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arctan (1)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{π + π}{4}$

解题步骤 3.3

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 4

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.1.2

合并分数。

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解题步骤 6.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 6.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π + π}{4}$

解题步骤 6.2.3

将 $5 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{6 π}{4}$

解题步骤 6.2.4

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{4}$

解题步骤 6.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

解题步骤 6.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = 3 π$

解题步骤 7

求 $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 7.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 8

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n, 3 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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