三角学示例

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2

减分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 的因式。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.1.4

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.5

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + 1 \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

运用分配律。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.6.2

运用分配律。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.6.3

运用分配律。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.2

乘以 $- 1 (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.1.7.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.2.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.3

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.4

乘以 $\cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.1.7.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.1.7.2

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + 0 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.3

将 $2 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.4

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中减去 ${\cos (x)}^{2}$ 。

$\frac{2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.5

将 $2 \cos (x)$ 和 $2 \cos (x)$ 相加。

$\frac{4 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.6

将 $4 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{4 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{4 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $4 \cot (x) \csc (x)$ 。

$4 \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$ 是一个恒等式

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